Heiko Hausendorf & Wolfgang Kesselheim. 2008. Textlinguistik fürs Examen (Linguistik fürs Examen 5)

Examen du cours MOPSI

I.2 Soit Vh l’espace d’éléments finis P k, c’est-à-dire l’espace des fonctions continues, qui sont polynomiales (de degré k) par morceaux sur un maillage du domaine Ω. Le problème discrétisé s’écrit : trouver uh ∈ Vh tel que pour tout vh ∈ Vh, a(uh, vh) = l(vh). Comme Vh ⊂ H1 0 (Ω), on a, pour tout vh ∈ Vh, a(u− uh, vh) =, 0 et donc a(u− uh, u− uh) = a(u− uh, u− vh). On en déduit facilement que...

Examen du cours MOPSI

5 En utilisant la propriété de Markov forte, (Στk+n, n ∈ N) est une chaîne de Markov issue de k de matrice de transition P et est indépendante de (Σ0, . . . ,Στk). Elle est donc en particulier indépendante de τk. Ainsi, (Στk+n − k, n ∈ N) est une chaîne de Markov de même loi que (Σn, n ∈ N) et qui est indépendante de τk. Enfin, en utilisant la question 2, (−Στk+n + k, n ∈ N) est une chaîne de M...

Examen du cours MOPSI

1 Il suffit de prendre (f, g)(x, y) = (−y, x), de sorte quë x + x = 0. Les solutions sont alors x(t) = x(0) cos(t) − y(0) sin(t) et y(t) = y(0) cos(t) + x(0) sin(t), et sont 2π-périodiques. 2 On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il existe une solution T-périodique (x(t), y(t)). On a alors d dt V (x(t), y(t)) = ∇V 2 (x(t), y(t)) et donc V (x(T)) − V (x(0)) = T 0 ∇V 2 (x(t), y(t)) dt. Le membr...

Examen du cours Complexité (L3)

Examen du cours MOPSI

1 Il s'agit du modèle du pendule linéarisé avec frottement visqueux. Le seul point d'équilibre est (x, v) = (0, 0). C'est un point d'équilibre stable, ce qu'on peut vérifier par exemple en utilisant la fonction de Lyapunov H(x, v) = (x 2 + v 2)/2. En fait, on montrera dans la suite que c'est un point d'équilibre asymptotiquement stable. 2 Il suffit de faire le calcul explicitement. On vérifie q...